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整数の公式でフィボナッチ数列を求める

整数の公式でフィボナッチ数列を求める
祖先型の目で眺めたこの惑星は, 十分近づいても赤道と極以外に陸地が無いように見える.しかし周回軌道上でよく目を凝らせばその勘違いが, 青色と海を結びつける先入観に起因するものだと気付く. あるところでは群れをなし, またあるところでは毛羽立ち, 赤道では渦巻く白い雲の下にいくらか隠されながらも滑らかで穏やかな表面を見せるのが海洋だ.その一方で, 皺がよったようにわずかずつ異なる「青色」が縦横に走る領域があることが分かるだろう. 海に見えていた部分の3割は青い植物で覆われた大陸なのだ. 伝統的な分類で主系列のF型星に属すこの系の太陽は我々の故郷のソルよりいくらか重く,その放つ光はやや明るい. そしてスペクトルのピークは短波長側にずれている. つまり少しだけ青い. 植物が持つクロロフィル――と相似な分子――が, もっともエネルギーに富む波長を選んでいないように見えるのはここでもどうやら同じようだ. といっても光合成の担い手が全て青いわけではない. やはり地球同様に植物の上陸が一度だけ起こったこの惑星では,現生の陸生青色植物の光合成色素は数億年間経った今でも高い一様性を保っている. しかし水中に目を転ずれば進化の試行錯誤の跡と多様性を見ることができるだろう. いくつもの系統樹の枝に渡って存在する単細胞の藻類は, この惑星を酸素で改造した祖先と微妙に異なる多様な光合成色素を持ち, 淡水海水に限らずあらゆる水圏で食物連鎖を支えていた. カルシウムの骨格を獲得したある藻類のグループはほとんど黒に近い紺色で, 浅瀬の動物に住処を与え生態系にとって重要な役割を果たしていた. 我々が出会った緋色藻は, 高緯度地域の湖で赤く小さな体を漂わせる,そんな多くの興味深い藻類の中の1つだった.

一般フィボナッチ数列の周期について(1)

祖先型の目で眺めたこの惑星は, 十分近づいても赤道と極以外に陸地が無いように見える.しかし周回軌道上でよく目を凝らせばその勘違いが, 青色と海を結びつける先入観に起因するものだと気付く. あるところでは群れをなし, またあるところでは毛羽立ち, 赤道では渦巻く白い雲の下にいくらか隠されながらも滑らかで穏やかな表面を見せるのが海洋だ.その一方で, 皺がよったようにわずかずつ異なる「青色」が縦横に走る領域があることが分かるだろう. 海に見えていた部分の3割は青い植物で覆われた大陸なのだ.

伝統的な分類で主系列のF型星に属すこの系の太陽は我々の故郷のソルよりいくらか重く,その放つ光はやや明るい. そしてスペクトルのピークは短波長側にずれている. つまり少しだけ青い. 植物が持つクロロフィル――と相似な分子――が, もっともエネルギーに富む波長を選んでいないように見えるのはここでもどうやら同じようだ.

といっても光合成の担い手が全て青いわけではない. やはり地球同様に植物の上陸が一度だけ起こったこの惑星では,現生の陸生青色植物の光合成色素は数億年間経った今でも高い一様性を保っている. しかし水中に目を転ずれば進化の試行錯誤の跡と多様性を見ることができるだろう. いくつもの系統樹の枝に渡って存在する単細胞の藻類は, この惑星を酸素で改造した祖先と微妙に異なる多様な光合成色素を持ち, 淡水海水に限らずあらゆる水圏で食物連鎖を支えていた. カルシウムの骨格を獲得したある藻類のグループはほとんど黒に近い紺色で, 浅瀬の動物に住処を与え生態系にとって重要な役割を果たしていた.

我々が出会った緋色藻は, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 高緯度地域の湖で赤く小さな体を漂わせる,そんな多くの興味深い藻類の中の1つだった.

さて, 「最後の桁の数」は我々の手が10本(十進数で)の指を備えている事情から
見えているに過ぎない. 他の自然数*2
に対する剰余の周期も気になるところである.

mod 2 : 0,1,1,0,1,1,…
mod 3 : 0,1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,….
mod 4 : 0,1,1,2,3,1,整数の公式でフィボナッチ数列を求める 0,1,1,…
mod 5 : 0,1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 0,2,2,4,1,0,1,1,…

● 0, 1, 1, 2, 3, 5, 1, 6, 0, 6, 6, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 5, 4, 2, 6, 1, 0, 1, …
● 0, 2, 2, 4, 6, 3, 2, 5, 0, 5, 5, 3, 1, 4, 5, 2, 0, 2, …
● 0, 3, 3, 6, 2, 1, 3, 4, 0, 4, 4, 1, 5, 6, 4, 3, 0, 3, …

● 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 2, 10, 1, 0, 1, …
整数の公式でフィボナッチ数列を求める 0, 2, 2, 4, 6, 10, 5, 4, 9, 2, 0, 2, …
● 0, 3, 3, 6, 9, 4, 2, 6, 8, 3, 0, 3, …
● 0, 4, 4, 8, 1, 9, 10, 8, 7, 4, 0, 4,…
整数の公式でフィボナッチ数列を求める 0, 5, 5 ,10, 4, 3, 7, 10, 6, 5, 0, 5,…
● 0, 6, 6, 1, 7, 8, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 4, 1, 5, 6, 0, 6, …
● 0, 7, 7, 3, 10, 2, 1, 3, 4, 7, 0, 7, …
● 0, 8, 8, 5, 2, 7, 9, 5, 3, 8, 0, 8, …
● 0, 9, 9, 7, 5, 1, 6, 7, 2, 9, 0, 9, …
● 0, 10, 10, 9, 8, 6, 3, 9, 1, 10, 0, 10, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める …

0の入る場合はこれで全てだ. しかし周期10*10=100組だけしか入っていない.
11*11のマス目に印を付けてみると, 出てこない組が分かる.

● 1, 4, 5, 9, 3, 1, 4, …
● 1, 8, 9, 6, 4, 10, 3, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 2, 5, 7, 1, 8, …
● 2, 8, 10, 7, 6, 2, 8, …

● 0, 1, 1, 2, 3, 5, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 8, 0, 8, 8, 3, 11, 1, 12, 0, 12, 12, 11, 10, 8, 5, 0, 5, 5, 10, 2, 12, 1, 0, 1, …
● 0, 2, 2, 4, 6, 10, 3, 0, 3, 3, 6, 9, 2, 11, 0, 11, 11, 9, 7, 3, 10, 0, 10, 10, 7, 4, 11, 2, 0, 2, …
● 0, 4, 4, 8, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 12, 7, 6, 0, 6, 6, 12, 5, 4, 9, 0, 9, 9, 5, 1, 6, 7, 0, 7, 7, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 1, 8, 9, 4, 0, 4, …

0を含む列は周期28が3つ, ここに入る2つ組は84. 0を含まないものは

● 2, 1, 3, 4, 7, 11, 5, 3, 8, 11, 6, 4, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 10, 1, 11, 12, 10, 9, 6, 2, 8, 10, 5, 2, 7, 9, 3, 12, 2, 1, …
● 4, 2, 6, 8, 1, 9, 10, 6, 3, 9, 12, 8, 7, 2, 9, 11, 7, 5, 12, 4, 3, 7, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 10, 4, 1, 5, 6, 11, 4, 2, …
● 8, 4, 12, 3, 2, 5, 7, 12, 6, 5, 11, 3, 1, 4, 5, 9, 1, 10, 11, 8, 6, 1, 7, 8, 2, 10, 12, 9, 8, 4, …

観察のため, mod17, 19も続けてみる.

0を含むもの
●0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 4, 0, 4, 4, 8, 12, 3, 15, 1, 16, 0, 16, 16, 15, 14, 12, 9, 4, 13, 0, 13, 13, 9, 5, 14, 2, 16, 1, …
●0, 2, 2, 4, 6, 10, 16, 9, 8, 0, 8, 8, 16, 7, 6, 13, 2, 15, 0, 15, 15, 13, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 11, 7, 1, 8, 9, 0, 9, 9, 1, 10, 11, 4, 15, 2, …
●0, 3, 3, 6, 9, 15, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 7, 5, 12, 0, 12, 12, 7, 2, 9, 11, 3, 14, 0, 14, 14, 11, 8, 2, 10, 12, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 5, 0, 5, 5, 10, 15, 8, 6, 14, 3, …
●0, 6, 6, 12, 1, 13, 14, 10, 7, 0, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 7, 7, 14, 4, 1, 5, 6, 11, 0, 11, 11, 5, 16, 4, 3, 7, 10, 0, 10, 10, 3, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 13, 16, 12, 11, 6, …
周期36*4列.

0を含まないもの
●1, 3, 4, 7, 11, 1, 12, 13, 8, 4, 12, 16, 11, 10, 4, 14, 1, 15, 16, 14, 13, 10, 6, 16, 5, 4, 9, 13, 5, 1, 6, 7, 13, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 3, 16, 2, …
●1, 4, 5, 9, 14, 6, 3, 9, 12, 4, 16, 3, 2, 5, 7, 12, 2, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 14, 16, 13, 12, 8, 3, 11, 14, 8, 5, 13, 1, 14, 15, 12, 10, 5, 15, 3, … 整数の公式でフィボナッチ数列を求める
●1, 7, 8, 15, 6, 4, 10, 14, 7, 4, 11, 15, 9, 7, 16, 6, 5, 11, 16, 10, 9, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 2, 11, 13, 7, 3, 10, 13, 6, 2, 8, 10, 1, 11, 12, 6, …
●1, 9, 10, 2, 12, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 14, 9, 6, 15, 4, 2, 6, 8, 14, 5, 2, 7, 9, 16, 8, 7, 15, 5, 3, 8, 11, 2, 13, 15, 11, 9, 3, 12, 15, 10, 8, …
周期36*4列.

0を含むもの
●0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 13, 2, 15, 17, 13, 11, 5, 16, 2, 18, 1, …
●0, 2, 2, 4, 6, 10, 16, 7, 4, 11, 15, 7, 3, 10, 13, 4, 17, 2, …
●0, 3, 3, 6, 9, 15, 5, 1, 6, 7, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 13, 1, 14, 15, 10, 6, 16, 3, …
●0, 4, 4, 8, 12, 1, 13, 14, 8, 3, 11, 14, 6, 1, 7, 8, 15, 4, …
●0, 5, 5, 10, 15, 6, 2, 8, 10, 18, 9, 8, 17, 6, 4, 10, 14, 5, …
●0, 6, 6, 12, 18, 11, 10, 2, 12, 14, 7, 2, 9, 11, 1, 12, 13, 6, …
●0, 7, 7, 14, 2, 16, 18, 15, 14, 10, 5, 15, 1, 16, 17, 14, 12, 7, …
●0, 8, 8, 16, 5, 2, 7, 9, 16, 6, 3, 9, 12, 2, 14, 16, 11, 8, … 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める
●0, 9, 9, 18, 8, 7, 15, 3, 18, 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 10, 9, …
●0, 10, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 10, 1, 11, 12, 4, 16, 1, 17, 18, 16, 15, 12, 8, 1, 9, 10, …
●0, 11, 11, 3, 14, 17, 12, 10, 3, 13, 16, 10, 7, 17, 5, 3, 8, 11, …
●0, 12, 12, 5, 17, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 3, 1, 4, 5, 9, 14, 4, 18, 3, 2, 5, 7, 12, …
●0, 13, 13, 7, 1, 8, 9, 17, 7, 5, 12, 17, 10, 8, 18, 7, 6, 13, …
●0, 14, 14, 9, 4, 13, 17, 11, 9, 1, 10, 11, 2, 13, 15, 9, 5, 14, …
●0, 15, 15, 11, 7, 18, 6, 5, 11, 16, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 8, 5, 13, 18, 12, 11, 4, 15, …
●0, 16, 16, 13, 10, 4, 14, 18, 13, 12, 6, 18, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 5, 4, 9, 13, 3, 16, …
●0, 17, 17, 15, 13, 9, 3, 12, 15, 8, 4, 12, 16, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 9, 6, 15, 2, 17, …
●0, 18, 18, 17, 16, 14, 11, 6, 17, 4, 2, 6, 8, 14, 3, 17, 1, 18, …
周期18*18列

0を含まないもの
●1, 5, 6, 11, 17, 9, 7, 16, 4, …
●1, 15, 16, 12, 9, 2, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 11, 13, 5, 18, 4, 3, 7, 10, 17, 8, 6, 14, …
●2, 10, 12, 3, 15, 18, 14, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 13, 8, …
周期9が2つ, 周期18が1つ.

こうして課題が見えてきた.
- 周期を決めるのは何か?
- 0が初めて現れるのはいつか?
- 0を含まない系列があるのはいかなる場合か?
- 0を含むとすれば循環節中にいくつ含むか?
- 他より短い周期の系列が生じるのはいつか?

(0,1)から始まる系列において0が初めて出てくる番号は出現点(エントリーポイント)整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める と呼ばれ, 周期と同様に重要である.また, 0を含む系列が1つ存在すれば, 各成分に対してある数をかけることで他の系列が全て得られることはほとんど明らかだろう.このことを踏まえ, 愚直にp*pのマス目にチェックを入れながら各系列について計算する方法で上の
項目についてもっと調べてみよう.

整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める
法p 0を含む系列 周期 出現点 0の数 0を含まない系列
2 1 3 31 0
3 1 8 4 2 0
5 1 20 5 4 1
7 3 168 2 0
11 10 10 10 1 2+1
13 3 28 7 4 3
17 4 36 9 4 4
19 18 18 18 1 2+1
23 11 48 24 2 0
29 28 14 14 1 32+2
31 30 30 30 1 2+1
37 9 76 19 4 9
41 2040 20 2 22
43 21 88 44 2 0
47 23 32 16 2 46
53 13 108 27 4 13
59 58 58 58 1 2+1
61 15 60 15 4 47
67 33 136 68 2 0
71 70 70 70 1 2+1
73 18 148 37 4 18
7978 78 78 1 2+1
83 41 168 84 2 0
89 22 44 11 4 158
97 24 196 49 4 24

……ただしp=5の場合は他とは異なる. 上で見たように, 0を4つ含む周期20の系列と1,3,4,2,…の周期4の系列が現れる. これは端的に5という数がフィボナッチ数において特殊な役割を果たしていることを表している.

今から示していくのは, 実は出現点さえ分かればこの表の他の項目は埋められるということだ. p*pのマス目を埋めていく必要はないのだ.

f:id:shironetsu:20151114184328p:plain

定義1.1 フィボナッチ数列とは,
整数の公式でフィボナッチ数列を求める
によって定まる再帰数列である.

f:id:shironetsu:20151114184343p:plain

この定義では添え字は非負整数に限っているが負数番への拡張は容易だ.単にn 0に対して

f:id:shironetsu:20151114184400p:plain

定義1.2 初項が(a,b)∈Z^2の一般フィボナッチ数列を

によって定める.

f:id:shironetsu:20151114184415p:plain

後に分かることだが, a=2, b=1の場合はフィボナッチ数列と「対」になると言える重要な数列である.これをリュカ数列*4と呼ぶ.

定義1.3

リュカ数列[L[n]>とは

によって定まる数列である.

a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, …

f:id:shironetsu:20151114184430p:plain

命題1.2 初項(a,b)の一般フィボナッチ数列に対して

証明は略すが数学的帰納法からすぐに示せる.

f:id:shironetsu:20151114184441p:plain

命題1.3

さらにここから系として

f:id:shironetsu:20151114184456p:plain

命題1.整数の公式でフィボナッチ数列を求める 4

も簡単に示される.

f:id:shironetsu:20151121140728p:plain

命題1.5
行列Φ,横ベクトルg[n]を以下のように定めると次の関係式が成り立つ.

f:id:shironetsu:20151121140738p:plain

さらに行列G[n]を定めると,

f:id:shironetsu:20151121140805p:plain

特に,

f:id:shironetsu:20151114184717p:plain

命題1.6

この行列Fの対角化と累乗により次の有名な等式、ビネーの公式*6*7が得られる.

f:id:shironetsu:20151114184747p:plain

λ^2-λ-1の2つの解をα,βとすると,

f:id:shironetsu:20151114184756p:plain

命題1.8

今でこそ当たり前の公式だが, やはり整数しか出てこない数列の一般項を無理数のべき乗の線形和で表せてしまうというのは驚きである. これが整数になることはもちろん帰納法からすぐに示せるが, 有理数であることなら「直接」示せるだろう. αとβのべき乗を足すと√5が「消える」ことを言えばよいのだ. そのために二項定理を使う.

f:id:shironetsu:20151114184807p:plain

f:id:shironetsu:20151114184819p:plain

命題1.9(カタランの公式)

ここまでで以後用いるフィボナッチ数についての一般的な定義と命題については一通り述べ終えた. この準備を踏まえ, 次の記事から整除性と周期について述べる.

*6 : J.P.M.ビネー(仏 1786-1856). この名で呼ばれることが多いこの公式は, しかしビネーによって「再発見」されたものに過ぎないことが今では知られているようだ. 約1世紀前にオイラー, ダニエル・ベルヌーイ, ド・モアブル達が既に得ていたらしい. このような発見者と名称の不一致は歴史上しばしば見られるが(誰が最初に言い出してどうやって広まるのだろう?), ここでは一応ビネーの公式の名で呼ぶことにする.

フィボナッチ数列と成長の仕組みについて

フィボナッチ数列

たった n=5 の場合でもかなり大変なことになっています。しかし、これくらいなら、最近のCPU演算能力による力技で何とかなるのです。では、これが n=40, n=50くらいになってくるとどうでしょう。さすがに厳しくなってきます。関数の呼び出しには実際の計算と関係のないオーバーヘッドがかかります。計算量より関数呼び出しにCPU処理時間が使われていて、その結果、答えを出すのにものすごく時間が必要になってしまうのです。

「関数呼び出し」を減らそう

先程のコードでは、関数呼び出しがボトルネックになっていましたので、アルゴリズムを少し改良してみます。

改良したコードでは、一度計算した結果を data[] という配列に格納しています。こうすることで、fib2()そのものは一度しか呼び出されません。

JavaScriptに限らず、配列参照は関数呼び出しに比べてコストがかからない処理なので、高速に実行されるというわけです。

これでも良いのですが、もっといい方法はないのでしょうか?

n番目のフィボナッチ数を求める公式がある

なぜ、整数しかとるはずのないフィボナッチ数にルートが出てくるのかは、数学の奥深いところですが(※この数は「黄金比」に関係があります)、「一般式があるのだから、公式にしたがって関数をつくればいいのでは?」と思いますよね。

プログラム言語の限界

困難な問題でも、答えがあるということがわかれば対処策も必ず出てくる

あなたは、ここにアクセスしてFibonacci(103)と入力するだけで必要なフィボナッチ数の答えを得ることができます。答えを得るだけなら、アルゴリズムのボトルネックをリファクタリングしたり、ゼロからコードを書く必要はまったくないのです。

成長と進化の流れの行き着く先

今回は数学の話でしたが、何かの問題を解決しようとするとき、1)整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 自力でシンプルに解く、2)自力でシンプルな解法を改良する、3)もっとうまくやる人に依頼する、4)専門の道具を使う、という価値変化の流れがあります。人がやっていることはいずれ道具に必ず置き換わりますので、フィボナッチ数列同様、私たちも少しずつ「成長」していきたいものですね。

tanとフィボナッチ数列【マチンの公式との関連】【2013年度 京都府立医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 一見すると複雑な漸化式です。 そこで「実験してごらん」という設問を (1) につけてくれていま .

(2) について

(3) について

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回からテーマ別演習でパターン性の濃い計算技法を扱っていこうと思います。 今回のテーマは「シグマ計算」です。 このシリーズの一覧はこちら 最初にまとめておきます。 シグマ計算の基本方針は次の3つです。 シグマ計算基本方針 公式利用とその延長 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 差分解からの和の中抜け 二項定理の活用 第1講はまずシグマ計算の公式の確認と、その延長について扱います。 手始めにまずは上の問題で公式の確認と、その証明をしてみてください。 最 .

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 【有理化】 【部分分数分解】 テーマ別演習「シグマ計算基本方針」第2講です。 このシリーズの一覧はこちら シグマ計算の基本方針は次の3つです。 シグマ計算基本方針 公式利用とその延長 差分解からの和の中抜け 二項定理の活用 今回の第2講では 差分解からの和の中抜け を扱います。 差分解からの和の中抜けとは \(\displaystyle 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める \sum_^n (b_-b_)\) とシグマの中身を差の形に見ることで \((b .

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) テーマ別演習「シグマ計算基本方針」第3講です。 このシリーズの一覧はこちら シグマ計算の基本方針は次の3つです。 シグマ計算基本方針 公式利用とその延長 差分解からの和の中抜け 二項定理の活用 今回の第3講では 二項定理の活用 を扱います。 二項定理を活用してシグマ計算する場面は特徴的であり、 二項定理を使うシグマ計算 コンビネーションのシグマ 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める というのが見落としてはならない特徴であり、キーワードです。 ただ、単純に代入すればいいだけでなく、 .

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 【1】(以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む 連続自然数の積のシグマ計算は工夫の余地があります。 バラバラに展開してしまった人は「ジェイソン」と呼ばせていただきます。 バラバラにして\(\displaystyle \sum_^n k\) , \(\displaystyle \sum_^n k^\) , \(\cdots\) などを使って計算していくのは流石にシンドイと思います。 和の中抜けを .

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 初見かつノーヒントであれば厳しいと思います。 まずはノーヒントで粘れるだけ粘ってみてください。 どうにも埒があかないな、となったら誘導付きの問題も用意しましたので、そちらで再チャレンジしてみてください。 + クリック(タップ)して誘導付きの問題でチャレンジする 誘導付きはこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \((1+x)^\) という式を考えるという部分が見えるだけでも、気持ち的には楽でしょう。 と .

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) このシリーズの一覧はこちら 今回扱うのは二項係数の符号が入れ違いになっている和(交代和)について考えます。 前半部分は第3講で扱った「二項定理の活用」という話題です。 「\((1+x)^\) の展開式を用いて」というのはここまで勉強してきた人からすると正直余計なお世話でしょう。 (ii) の偶数番目だけを取り出したい、奇数番目だけを取り出したい、という問題についても (i) で考えた \(a\) , \(b\) を利用 .

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) このシリーズの一覧はこちら 今回扱うのは3つ飛ばしの二項係数の和について扱います。 原題ではもう少し段階的な設問がありましたが、言われたことをやっているうちに終わってしまい、作業感が強かったため、考えてもらいたい部分については一部カットしました。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む (1) について 二項定理の活用により仕留める方針が第一感です。 \((1+x)^=<>_ 整数の公式でフィボナッチ数列を求める \ma .

フィボナッチ数 -->

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Fibonacci

フィボナッチ(Fibonacci)数 を求める.

フィボナッチ多項式 を求める.

スコープ (41)

数値評価 (4)

特定の値 (6)

記号的な n と x についての Fibonacci 多項式:

, Fibonacci2]=5" width="52" height="15" /> となるような の値を求める:

可視化 (5)

TemplateBox[<3, <x, +, iy></p>
<p>>, Fibonacci2] の実部をプロットする:

TemplateBox[<3, <x, +, iy></p>
<p>>, Fibonacci2] の虚部をプロットする:

関数の特性 (14)

TemplateBox[</p>
<p>Fibonacci は鏡特性 , Fibonacci](z)=TemplateBox[, Fibonacci](z) を持つ:

n についての 次導関数の式:

級数展開 (4)整数の公式でフィボナッチ数列を求める

の周りの最初の3つの近似をプロットする:

関数の恒等式と簡約 (2)

一般化と拡張 (2)

アプリケーション (13)

整数をフィボナッチ数 の和として表す方法がいくつあるか計算する:

ラメ(Lam é )の定理は を計算するユークリッドのアルゴリズムのステップ数を拘束する:

が , Fibonacci]" width="17" height="15" /> を割るなら , 整数の公式でフィボナッチ数列を求める Fibonacci]" width="15" height="15" /> は , Fibonacci]>, Fibonacci]" width="24" height="17" /> を割る:

gcd(TemplateBox[<n></p>
<p>これはより一般的な恒等式 , Fibonacci],TemplateBox[, Fibonacci])=TemplateBox[, )>>, Fibonacci] の際立ったケースである:

, Fibonacci], m>, Mod]" width="56" height="15" /> の数列は固定した自然数 の場合 に関して周期的である:

の場合,周期は に等しい:

特性と関係 (15)

フィボナッチ数 (13)

フィボナッチ多項式 (2)

考えられる問題 (3)

おもしろい例題 (8)

チュートリアル

関連するガイド

関連リンク

  • ▪ 実装に関するノート: 数値および関連関数
  • MathWorld
  • The Wolfram Functions Site
  • An Elementary Introduction to the Wolfram Language: More about Numbers
  • An Elementary Introduction to the Wolfram Language: Writing Good Code (A New Kind of Science)

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